§1.10 连续函数的运算与初等函数的连续性

一、连续函数的四则运算性质

由函数在一点连续的定义，不难发现，函数连续的问题仍是一个函数的极限问题，而函数极限的四则运算法则业已证明，因此，我们只要稍加改动，便可将它们移植到函数的连续。很自然地，我们有下述定理：

【定理一】有限个在某点连续的函数之和仍是一个在该点连续的函数。

【定理二】有限个在某点连续的函数的乘积仍是一个在该点连续的函数。

【定理三】两个在某点连续的函数的商仍是一个在该点连续的函数，只要分母在该点不为零。

例如：我们已知函数，在上连续，据上述定理，， 在 上也是连续的；而正切与余切函数，则需在分母不为零的点(即函数各自的定义域内)处才连续。

二、反函数与复合函数的连续性

【定理四】

如果函数在区间上单值，单增（或单减）且连续，则它的反函数也在区间上单值，单增（或单减）且连续。

这一定理的证明从略，但对定理中的一个重要条件：

直接函数在其定义区间内必须是单值，单调，连续

要特别加以注意。

其实，这一定理可简记成：若直接函数在其定义区间上单值，单调，连续，则其反函数在其对应区间上亦然。

另外，区间实际上是直接函数的值域。

下面， 我们来讨论反三角函数的连续性问题。

在上单值、单增、连续，其值域为。反函数 在上亦单值、单增、连续。

由于函数只与对应法则和定义域有关， 而与自变量的选取与关。通常，我们也用来记的反函数。

的反函数在上亦是单值、单减、连续。

的反函数则在上单值、单增、连续。

三、复合函数的连续性定理

【定理五】

设函数当时的极限存在且等于，即

而函数在点连续， 则复合函数当时的极限存在且等于， 即

(1)

证明：

因在连续，则 。

，，当 时，

又 ，对于上述，，当时，有

综合上述两个步骤有：

，，当 时，有

进而有：

故

2、（1）式还可写成形式 (3)

表明：求函数极限，可使用变量代换。

将自变量变化趋势，换成新变量变化趋势，

将转化为（其中 ）。

3、定理5中的变量变化趋势可换成 ， 其结论仍旧成立。

【定理六】

设函数在连续，且；而函数在点处亦连续，那么复合函数在处连续。

【证明】：只要在定理5中，令即：在 连续。

于是，(1)式可表示成：

这便证明了函数 在点处连续。

【例1】求（其中为正整数）

解：

这里：我们用到了在处的连续，而在

时极限存在，且为。

注：例一的解法用到了定理5的第(2)式。

【例2】求

解：

注：例二的解法用到了定理5中的第(3)式。

三、初等函数的连续性

前面，我们业已证明了三角函数和反三角函数在其定义域内是连续的。最后，我们指出(但不作详细地证明)：

1、指数函数在内连续。

2、对数函数在内连续。

3、幂函数在其定义域(定义域要据的取值而定)内连续。

总之，基本初等函数在其定义域内连续。

由基本初等函数在其定义域内的连续性，本节介绍的定理1～6可以导出如下重要而常用的结论：

一切初等函数在其定义域内都是连续的。

最后指出：如果函数在点连续，那么求极限，只需计算即可。这是因为，连续函数在一点的极限值应等于它在该点处的函数值。

【例3】求

解：是初等函数，在它的定义域内是连续的，而点，据基本结论有：